$\triangle ABC$ において、$BC=4$, $CA=3$, $\angle ACB=90^\circ$ とし、辺 $AB$ 上に $AD=x$ となる点 $D$ をとる。点 $D$ から $BC$, $AC$ へ、それぞれ垂線 $DE$, $DF$ を引く。長方形 $DECF$ の面積 $S$ を $x$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC=4$, $CA=3$, $\angle ACB=90^\circ$ とし、辺 $AB$ 上に $AD=x$ となる点 $D$ をとる。点 $D$ から $BC$, $AC$ へ、それぞれ垂線 $DE$, $DF$ を引く。長方形 $DECF$ の面積 $S$ を $x$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ において、$AB$ の長さを求める。三平方の定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

よって、$AB = 5$。

次に、$\triangle ADE$ と $\triangle ABC$ の相似比を求める。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ であるから、$AD:AB = x:5$。

よって、相似比は $x:5$ である。

$DE \parallel AC$ より、$\triangle BDE \sim \triangle BAC$。 また、$DF \parallel BC$ より、$\triangle ADF \sim \triangle ABC$。

$\triangle ADE$ において、$DE = \frac{3x}{5}$、$AE = \frac{4x}{5}$。

したがって、$CF = DE = \frac{3x}{5}$、$CE = DF$ である。

$DF = AC - AF = 3 - AF$ である。

ここで、$AF$ を求める。

$\triangle ADF$ と $\triangle ABC$ の相似比は $x:5$ であるから、

$AF = \frac{AC \times AD}{AB} = \frac{3x}{5}$。

したがって、$DF = 3 - \frac{3x}{5} = \frac{15-3x}{5}$。

長方形 $DECF$ の面積 $S$ は、

$S = DE \times DF = \frac{3x}{5} \times \frac{15-3x}{5} = \frac{45x - 9x^2}{25} = \frac{-9x^2 + 45x}{25} = -\frac{9}{25}x^2 + \frac{9}{5}x$

3. 最終的な答え

$S = -\frac{9}{25}x^2 + \frac{9}{5}x$