平坦な土地にあるAからEの5つの地点の位置関係について、以下の情報が与えられています。 * BはAの真東に4km進んだ位置にある。 * CはBの真北に3km進んだ位置にある。 * DはAとCを結ぶ直線の延長線上にあり、Cから10km離れた位置にある。 * EはAから5km離れた位置にある。 * DはEの真西に位置している。 これらの情報から、Eの位置について確実に言えることを選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

平坦な土地にあるAからEの5つの地点の位置関係について、以下の情報が与えられています。

* BはAの真東に4km進んだ位置にある。

* CはBの真北に3km進んだ位置にある。

* DはAとCを結ぶ直線の延長線上にあり、Cから10km離れた位置にある。

* EはAから5km離れた位置にある。

* DはEの真西に位置している。

これらの情報から、Eの位置について確実に言えることを選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、問題文に書かれた位置関係を図にすると分かりやすいです。

1. Aを原点とすると、BはAの真東に4kmなので、Bの座標は(4, 0)となります。

2. CはBの真北に3kmなので、Cの座標は(4, 3)となります。

3. DはAとCを結ぶ直線の延長線上にあります。直線ACの傾きは $\frac{3-0}{4-0} = \frac{3}{4}$ です。したがって、直線ACの式は $y = \frac{3}{4}x$ となります。

4. DはCから10km離れた位置にあり、直線AC上にあるので、Dの座標を(x, y)とすると、$y = \frac{3}{4}x$ かつ $\sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} = 10$が成り立ちます。

$y = \frac{3}{4}x$ を $\sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} = 10$ に代入すると $\sqrt{(x-4)^2 + (\frac{3}{4}x-3)^2} = 10$ となります。

両辺を二乗して $(x-4)^2 + (\frac{3}{4}x-3)^2 = 100$。

$(x^2 - 8x + 16) + (\frac{9}{16}x^2 - \frac{18}{4}x + 9) = 100$

$16x^2 - 128x + 256 + 9x^2 - 72x + 144 = 1600$

$25x^2 - 200x + 400 = 1600$

$25x^2 - 200x - 1200 = 0$

$x^2 - 8x - 48 = 0$

$(x - 12)(x + 4) = 0$

$x = 12, -4$

$x = -4$のとき、$y = -3$ なので、$D(-4,-3)$となり、これはAとCの間にあるので条件に合わない。したがって$x = 12$となり、$y = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$。Dの座標は(12, 9)となります。

5. EはAから5km離れた位置にあるので、EはAを中心とした半径5kmの円周上にあります。

6. DはEの真西にあるので、DとEのy座標は同じです。したがって、Eのy座標は9となります。EはAから5km離れた位置にあるので、Eのx座標をeとすると、$\sqrt{(e-0)^2 + (9-0)^2} = 5$ となります。しかし、これはあり得ません。問題文よりDはEの真西に位置しているので、Dのx座標はEのx座標より大きいことになります。

D(12, 9)がEの真西に位置していることから、Eの座標は (e, 9) (e < 12) であり、AE = 5 より $\sqrt{e^2 + 9^2} = 5$ となります。これは条件を満たさないので図の描き方が誤っていることがわかります。CからDまで10km離れており、DがEの真西にある必要があります。A, E, B がほぼ一直線上にあり、EがAより南側にあるような位置関係が考えられます。

選択肢から判断すると、

1. Aの真東に位置している。明らかに違います。

2. Cから6km離れている。計算が必要です。

3. Dの真南に位置している。DはEの真西にあるので、EはDの真東にあります。

4. Dから10km離れている。DはEの真西にあるので、ありえません。

5. Aより北側に位置している。A, E, B がほぼ一直線上にあり、EがAより南側にあるため、ありえません。

したがって、選択肢2が最も妥当です。

3. 最終的な答え

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