一辺が 6cm の立方体があり、頂点 C, D と辺 AB の中点 M を通る平面で切り取ってできた三角錐について、以下の問いに答えます。 (1) 辺 AD とねじれの位置にある辺を答えます。 (2) この三角錐の体積を求めます。

1. 問題の内容

一辺が 6cm の立方体があり、頂点 C, D と辺 AB の中点 M を通る平面で切り取ってできた三角錐について、以下の問いに答えます。

(1) 辺 AD とねじれの位置にある辺を答えます。

(2) この三角錐の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ねじれの位置にある辺を見つける:

ねじれの位置とは、同一平面上にない、かつ平行でも交わらない辺の関係です。辺 AD と以下の辺について検討します。

* 辺 CM は、面 ADC に含まれるのでねじれの位置ではありません。

* 辺 AM は、面 ABD に含まれるのでねじれの位置ではありません。

* 辺 DM は、面 ABD に含まれるのでねじれの位置ではありません。

* 辺 BM は、面 ABM に含まれるのでねじれの位置ではありません。

* 辺 BC, MN は、ADと平行でも交わらないのでねじれの位置にあります。

(2) 三角錐の体積を求める:

三角錐 C-ADM の体積を求めます。

この三角錐は、立方体から他の部分を切り取ったものです。立方体の体積から、不要な部分の体積を引くことで求められます。

より簡単に考えるために、三角錐 C-ADM を直接計算します。底面を三角形 ADM と考えると、高さは立方体の高さに相当する辺 AC になります。三角形 ADM の面積は、三角形 ABD の面積の半分です。三角形 ABD は、一辺 6cm の正方形の半分なので、面積は $(1/2) \times 6 \times 6 = 18$ cm$^2$ です。したがって、三角形 ADM の面積は $18/2 = 9$ cm$^2$ です。

三角錐 C-ADM の体積は、

$V = (1/3) \times \text{底面積} \times \text{高さ} = (1/3) \times 9 \times 6 = 18$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) 辺 AD とねじれの位置にある辺: 辺 BC

(2) 三角錐の体積: 18 cm$^3$