(1) 2点$(-1, 1, 2)$と$(2, 1, -2)$を通る直線の方程式を求めよ。 (2) 点$(3, -1, 5)$を通り、直線$\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z+1}{5}$と直交する平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2点$(-1, 1, 2)$と$(2, 1, -2)$を通る直線の方程式を求めよ。

(2) 点$(3, -1, 5)$を通り、直線$\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z+1}{5}$と直交する平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線の方向ベクトルを求めます。2点$(-1, 1, 2)$と$(2, 1, -2)$を通る直線の方向ベクトル$\vec{v}$は、

$\vec{v} = (2 - (-1), 1 - 1, -2 - 2) = (3, 0, -4)$

と表されます。

したがって、直線の方程式は、

$\frac{x - (-1)}{3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 2}{-4}$

と表されます。ただし、$\frac{y - 1}{0}$の部分は$y = 1$を意味します。

(2)

直線$\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z+1}{5}$と直交する平面の法線ベクトルは、直線の方向ベクトルに平行です。したがって、平面の法線ベクトルは$\vec{n} = (3, -2, 5)$と表されます。

点$(3, -1, 5)$を通り、法線ベクトルが$\vec{n} = (3, -2, 5)$である平面の方程式は、

$3(x - 3) - 2(y - (-1)) + 5(z - 5) = 0$

$3x - 9 - 2y - 2 + 5z - 25 = 0$

$3x - 2y + 5z - 36 = 0$

$3x - 2y + 5z = 36$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x + 1}{3} = \frac{z - 2}{-4}, y = 1$

(2) $3x - 2y + 5z = 36$