(1) 2点$(-1, 1, 2)$、$(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求めます。 (2) 3点$(0, -1, 0)$、$(2, 1, -1)$、$(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 2点$(-1, 1, 2)$、$(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求めます。

(2) 3点$(0, -1, 0)$、$(2, 1, -1)$、$(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2点$(-1, 1, 2)$、$(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求める。

直線の方向ベクトル $\vec{d}$ は、2点の座標の差で与えられます。

$\vec{d} = (2 - (-1), 1 - 1, -2 - 2) = (3, 0, -4)$

直線上の任意の点 $(x, y, z)$ に対して、点 $(-1, 1, 2)$ から $(x, y, z)$ へのベクトルは $\vec{d}$ と平行である必要があります。したがって、直線の方程式は、パラメータ $t$ を用いて以下のように表されます。

$(x, y, z) = (-1, 1, 2) + t(3, 0, -4)$

つまり、

$x = -1 + 3t$

$y = 1 + 0t = 1$

$z = 2 - 4t$

パラメータ $t$ を消去します。$x = -1 + 3t$ より $t = (x + 1) / 3$

これを $z = 2 - 4t$ に代入すると、

$z = 2 - 4(x + 1) / 3$

$3z = 6 - 4x - 4$

$3z = 2 - 4x$

$4x + 3z = 2$

したがって、直線の方程式は

$\frac{x + 1}{3} = \frac{z - 2}{-4}, y = 1$

または

$y = 1, 4x + 3z - 2 = 0$

(2) 3点$(0, -1, 0)$、$(2, 1, -1)$、$(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求める。

まず、平面上の2つのベクトルを求めます。

$\vec{v_1} = (2, 1, -1) - (0, -1, 0) = (2, 2, -1)$

$\vec{v_2} = (3, 3, 0) - (0, -1, 0) = (3, 4, 0)$

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の外積で与えられます。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (2, 2, -1) \times (3, 4, 0) = (2 \cdot 0 - (-1) \cdot 4, (-1) \cdot 3 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = (4, -3, 2)$

平面の方程式は、法線ベクトル $\vec{n} = (4, -3, 2)$ と平面上の点 $(0, -1, 0)$ を用いて表されます。

$4(x - 0) - 3(y - (-1)) + 2(z - 0) = 0$

$4x - 3(y + 1) + 2z = 0$

$4x - 3y - 3 + 2z = 0$

$4x - 3y + 2z = 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 1, 4x + 3z = 2$

(2) $4x - 3y + 2z = 3$