4つの一次関数 $y=4x+2a$, $y=-2x+a$, $y=ax-3$, $y=-ax-2$ のうち、$a>0$ を満たすどのような $a$ の値であっても、グラフが $x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ることがないものはどれかを答える問題です。

1. 問題の内容

4つの一次関数 $y=4x+2a$, $y=-2x+a$, $y=ax-3$, $y=-ax-2$ のうち、$a>0$ を満たすどのような $a$ の値であっても、グラフが $x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ることがないものはどれかを答える問題です。

2. 解き方の手順

与えられた各一次関数について、$a>0$ の条件のもとで、$x<0$ かつ $y>0$ の領域を通るかどうかを調べます。

(1) $y = 4x + 2a$

$x<0$ で $y>0$ となるためには、$4x + 2a > 0$ である必要があります。

$4x > -2a$

$x > -\frac{a}{2}$

$a>0$ なので $-\frac{a}{2} < 0$。したがって，$-\frac{a}{2} < x < 0$ ならば、$x<0$ かつ $y>0$ となります。

よって、$y = 4x + 2a$ は、$x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ります。

(2) $y = -2x + a$

$x<0$ で $y>0$ となるためには、$-2x + a > 0$ である必要があります。

$-2x > -a$

$x < \frac{a}{2}$

$a>0$ なので $\frac{a}{2} > 0$。したがって、$x < 0$ ならば、$x<0$ かつ $y>0$ となります。

よって、$y = -2x + a$ は、$x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ります。

(3) $y = ax - 3$

$x<0$ で $y>0$ となるためには、$ax - 3 > 0$ である必要があります。

$ax > 3$

$x > \frac{3}{a}$

$a>0$ なので $\frac{3}{a} > 0$。したがって、$x>0$ となり、$x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ることができません。また、$y$切片の値は、$y = a(0) - 3 = -3 < 0$ です。

このグラフが $x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ることはありません。

(4) $y = -ax - 2$

$x<0$ で $y>0$ となるためには、$-ax - 2 > 0$ である必要があります。

$-ax > 2$

$x < -\frac{2}{a}$

$a>0$ なので $-\frac{2}{a} < 0$。したがって、$x< -\frac{2}{a} < 0$ ならば、$x<0$ かつ $y>0$ となります。

よって、$y = -ax - 2$ は、$x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ります。

3. 最終的な答え

$a>0$ を満たすどのような $a$ の値であっても、グラフが $x<0$ かつ $y>0$ の領域を通ることがないものは、③ です。