$\alpha$ と $\beta$ は実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = \alpha$ ...(1) $x^2 - 2x - 1 = \beta$ ...(2) を考える。与えられた8個の $(\alpha, \beta)$ の組のうち、(1)または(2)を満たす互いに異なる実数 $x$ の個数が4個となるような $(\alpha, \beta)$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ と $\beta$ は実数の定数とする。2つの2次方程式

$x^2 - 2x - 1 = \alpha$ ...(1)

$x^2 - 2x - 1 = \beta$ ...(2)

を考える。与えられた8個の $(\alpha, \beta)$ の組のうち、(1)または(2)を満たす互いに異なる実数 $x$ の個数が4個となるような $(\alpha, \beta)$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、方程式(1)と(2)をそれぞれ解きやすい形に変形する。

$x^2 - 2x - 1 = \alpha$ より $x^2 - 2x - (1+\alpha) = 0$

$x^2 - 2x - 1 = \beta$ より $x^2 - 2x - (1+\beta) = 0$

これらの2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式が正または0であること。

$x^2 - 2x - (1+\alpha) = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-2)^2 - 4(1)(-1-\alpha) = 4 + 4 + 4\alpha = 8 + 4\alpha = 4(2+\alpha)$

$D_1 \ge 0$ より $2 + \alpha \ge 0$ なので、$\alpha \ge -2$

同様に $x^2 - 2x - (1+\beta) = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-2)^2 - 4(1)(-1-\beta) = 4 + 4 + 4\beta = 8 + 4\beta = 4(2+\beta)$

$D_2 \ge 0$ より $2 + \beta \ge 0$ なので、$\beta \ge -2$

次に、それぞれの $(\alpha, \beta)$ の組について、

1. $\alpha \ge -2$ かつ $\beta \ge -2$ であるか確認する。

2. $x^2 - 2x - (1+\alpha) = 0$ と $x^2 - 2x - (1+\beta) = 0$ が共に実数解を持つ場合、それぞれ異なる2つの実数解を持つか（判別式が正か）を調べる。

3. もし、2つの2次方程式が両方とも異なる2つの実数解を持つ場合、解が重複しないか確認する。$\alpha \ne \beta$ であれば、解は重複しない。

与えられた $(\alpha, \beta)$ の組について調べる。

(1) $(-3, 1)$: $\alpha = -3 < -2$ なので、条件を満たさない。

(2) $(-1, \frac{1}{2})$: $\alpha = -1 > -2$, $\beta = \frac{1}{2} > -2$ であり、$\alpha \ne \beta$ なので条件を満たす。

(3) $(-2, -1)$: $\alpha = -2 \ge -2$, $\beta = -1 > -2$ であり、$\alpha \ne \beta$ なので条件を満たす。

(4) $(-\frac{5}{2}, \frac{1}{3})$: $\alpha = -\frac{5}{2} < -2$ なので、条件を満たさない。

(5) $(-\frac{1}{3}, 2)$: $\alpha = -\frac{1}{3} > -2$, $\beta = 2 > -2$ であり、$\alpha \ne \beta$ なので条件を満たす。

(6) $(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$: $\alpha = -\frac{3}{2} > -2$, $\beta = -\frac{1}{2} > -2$ であり、$\alpha \ne \beta$ なので条件を満たす。

(7) $(-1, 1)$: $\alpha = -1 > -2$, $\beta = 1 > -2$ であり、$\alpha \ne \beta$ なので条件を満たす。

(8) $(-2, \frac{1}{3})$: $\alpha = -2 \ge -2$, $\beta = \frac{1}{3} > -2$ であり、$\alpha \ne \beta$ なので条件を満たす。

条件を満たす $(\alpha, \beta)$ の組は、(2), (3), (5), (6), (7), (8) の6個である。

3. 最終的な答え

6