放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ の交点をA, Bとする。 (1) 線分ABの中点の座標を求めよ。 (2) 原点Oを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の式を求めよ。 (3) 点Aを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ の交点をA, Bとする。

(1) 線分ABの中点の座標を求めよ。

(2) 原点Oを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の式を求めよ。

(3) 点Aを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線と直線の交点A, Bの座標を求める。連立方程式

$y = \frac{1}{4}x^2$

$y = \frac{1}{2}x + 2$

を解く。$y$を消去して

$\frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{2}x + 2$

$x^2 = 2x + 8$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4, -2$

$x = 4$ のとき $y = \frac{1}{2}(4) + 2 = 4$

$x = -2$ のとき $y = \frac{1}{2}(-2) + 2 = 1$

したがって、Aの座標は $(-2, 1)$, Bの座標は $(4, 4)$。

線分ABの中点の座標は $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(1, \frac{5}{2}\right)$。

(2) 三角形OABの面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る。

(1)で求めた中点の座標は $\left(1, \frac{5}{2}\right)$なので、原点O$(0, 0)$とこの点を通る直線の式は

$y = \frac{\frac{5}{2}}{1}x = \frac{5}{2}x$。

(3) 点Aを通り、三角形OABの面積を2等分する直線は、線分OBの中点を通る。

線分OBの中点の座標は $\left(\frac{4+0}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (2, 2)$。

求める直線は、A$(-2, 1)$と$(2, 2)$を通るので、傾きは

$\frac{2-1}{2-(-2)} = \frac{1}{4}$。

したがって、直線の式は

$y - 1 = \frac{1}{4}(x - (-2))$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + 1$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $(1, \frac{5}{2})$

(2) $y = \frac{5}{2}x$

(3) $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$