関数 $y = \frac{1}{3} \cos \left(\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ)\right)$ の最大値、最小値、周期を求め、最大値を取る時の $\theta$ の値を一つ示す問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3} \cos \left(\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ)\right)$ の最大値、最小値、周期を求め、最大値を取る時の $\theta$ の値を一つ示す問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

2. 解き方の手順

(1) 最大値と最小値を求める。

コサイン関数の値域は $-1 \leq \cos x \leq 1$ であることを利用します。

$y = \frac{1}{3} \cos \left(\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ)\right)$ なので、

最大値は $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$、

最小値は $\frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3}$ となります。

(2) 最大値を取る時の $\theta$ の値を求める。

$\cos \left(\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ)\right) = 1$ となる時、 $y$ は最大値 $\frac{1}{3}$ をとります。

$\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ) = 2n\pi$ (nは整数)となれば良いです。

$\theta + 90^\circ = 4n\pi$

$\theta = 4n\pi - 90^\circ$

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ であるので、

$n=0$ のとき、$\theta = -90^\circ$ となり、範囲外です。

$n=1$ のとき、$\theta = 4\pi - 90^\circ = 4\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} = \frac{7}{2}\pi$ となり、範囲外です。

$\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ) = 0$ の場合も考えられます。

$\theta = -90^{\circ} = -\frac{\pi}{2}$ なのでこれは範囲外です。

$\cos(\frac{1}{2}(\theta + \frac{\pi}{2})) = 1$

$\frac{1}{2}(\theta + \frac{\pi}{2}) = 0$

$\theta = -\frac{\pi}{2}$

これは定義域に含まれません。

$\frac{1}{2}(\theta + \frac{\pi}{2}) = 2\pi$

$\theta + \frac{\pi}{2} = 4\pi$

$\theta = \frac{7\pi}{2}$

これも定義域に含まれません。

$\theta$ の範囲に注意して最大値を考える必要があります。

$0 \le \theta \le 2\pi$ より、

$\frac{\pi}{2} \le \theta + \frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4} \le \frac{1}{2}(\theta + \frac{\pi}{2}) \le \frac{5\pi}{4}$

この範囲で $\cos(\frac{1}{2}(\theta + \frac{\pi}{2}))$ が最大値1になることはありません。

$\frac{1}{2} (\theta + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4}$ の時

$\theta = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$ なので $\theta = 0$ の時最大値をとります。

その時の値は $\frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$ となります。

$\theta = 0$ の時、$\frac{1}{3} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{6} \simeq 0.236$

$\theta = 2\pi$ の時、$\frac{1}{3} \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{6} \simeq -0.236$

$\theta = 0$のとき $y = \frac{1}{3} \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

$\cos(\frac{1}{2} (\theta + \frac{\pi}{2})) = 1$　となるような$\theta$ は存在しないので最大値は $\frac{1}{3}$ ではありません。

(3) 周期を求める。

$y = \frac{1}{3} \cos \left(\frac{1}{2} (\theta + 90^\circ)\right) = \frac{1}{3} \cos \left(\frac{1}{2} \theta + \frac{\pi}{4}\right)$

コサイン関数の周期は $2\pi$ なので、$\frac{1}{2} \theta$ の周期は $2\pi$ となり、$\theta$ の周期は $4\pi$ となります。しかし、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq 2\pi$ なので、周期全体を見ることはできません。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ($\theta = 0$ の時)

最小値: $-\frac{1}{3}$ ($\theta = \pi$ の時)

周期: $4\pi$