初項 $a$, 公比 $r$ が実数の等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_3 = 3$, $S_6 = 27$ であった。このとき、$a$ と $r$ の値を求める。

1. 問題の内容

初項 $a$, 公比 $r$ が実数の等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_3 = 3$, $S_6 = 27$ であった。このとき、$a$ と $r$ の値を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$) である。

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 3$

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 27$

$S_6$ を $S_3$ で割る。

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{\frac{a(1-r^6)}{1-r}}{\frac{a(1-r^3)}{1-r}} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 1+r^3 = \frac{27}{3} = 9$

よって、$1+r^3 = 9$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = \frac{a(1-2^3)}{1-2} = \frac{a(1-8)}{-1} = \frac{-7a}{-1} = 7a = 3$

したがって、$a = \frac{3}{7}$

もし $r=1$とすると、$S_3 = 3a = 3$ より $a = 1$, また $S_6 = 6a = 27$ より $a = \frac{9}{2}$. これは矛盾するので、$r \neq 1$.

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{7}$, $r = 2$