比例 $y=ax$ ($a>0$) と反比例 $y=\frac{12}{x}$ ($x>0$) のグラフが点Aで交わっており、点Aのx座標は2である。また、比例 $y=-\frac{1}{2}x$ のグラフ上に、x座標が点Aのx座標と等しい点Bがあり、x座標が $t$ ($t<0$) である点Pがある。このとき、三角形APBの面積を $t$ を用いて表す。

1. 問題の内容

比例 $y=ax$ ($a>0$) と反比例 $y=\frac{12}{x}$ ($x>0$) のグラフが点Aで交わっており、点Aのx座標は2である。また、比例 $y=-\frac{1}{2}x$ のグラフ上に、x座標が点Aのx座標と等しい点Bがあり、x座標が $t$ ($t<0$) である点Pがある。このとき、三角形APBの面積を $t$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Aの座標を求める。点Aは $y=\frac{12}{x}$ 上にあり、x座標が2なので、

$y = \frac{12}{2} = 6$

したがって、点Aの座標は (2, 6) である。

次に、点Bの座標を求める。点Bは $y=-\frac{1}{2}x$ 上にあり、x座標が2なので、

$y = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$

したがって、点Bの座標は (2, -1) である。

次に、点Pの座標を求める。点Pは $y=-\frac{1}{2}x$ 上にあり、x座標が $t$ なので、

$y = -\frac{1}{2}t$

したがって、点Pの座標は $(t, -\frac{1}{2}t)$ である。

三角形APBの面積を計算する。点Aと点Bのx座標は同じなので、ABを底辺とみなすことができる。

ABの長さは $6 - (-1) = 7$ である。

点Pから直線ABまでの距離は、点Pのx座標と点Aのx座標の差の絶対値に等しいので $|t - 2| = 2 - t$ (∵ $t<0$ より)。

したがって、三角形APBの面積は

$\frac{1}{2} \times 7 \times (2-t) = \frac{7}{2}(2-t) = 7 - \frac{7}{2}t = -\frac{7}{2}t + 7$

3. 最終的な答え

$\triangle APB$ の面積は $(\frac{7}{2}t + 7)$ cm$^2$ である。

よって、イウ = 7, エ = 2, オ = 7