正方形の紙の四隅から一辺が4cmの正方形を切り取り、蓋のない直方体を作ったところ、容積が196cm³になった。 (1) 元の正方形の一辺の長さを$x$ cmとするとき、直方体の底面の一辺の長さを$x$を使って表しなさい。 (2) 元の正方形の一辺の長さを求めなさい。

1. 問題の内容

正方形の紙の四隅から一辺が4cmの正方形を切り取り、蓋のない直方体を作ったところ、容積が196cm³になった。

(1) 元の正方形の一辺の長さを$x$ cmとするとき、直方体の底面の一辺の長さを$x$を使って表しなさい。

(2) 元の正方形の一辺の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直方体の底面は正方形で、元の正方形の一辺の長さ$x$から、両端の4cmずつ切り取られているので、底面の一辺の長さは、$x - 4 - 4 = x - 8$ (cm)となる。

(2) 直方体の容積は、$底面積 \times 高さ$で求められる。

底面積は $(x - 8)^2$ cm²であり、高さは4cmである。

したがって、

$4(x - 8)^2 = 196$

$(x - 8)^2 = 49$

$x - 8 = \pm 7$

$x = 8 \pm 7$

$x = 15$ または $x = 1$

$x$ は直方体の底面の一辺の長さを表すので、$x > 8$ である必要がある。したがって、$x = 15$

3. 最終的な答え

(1) $x-8$ (cm)

(2) 15 cm