与えられた数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とすると、 $a_k = k^2(n-k+1)$ で表されます。

したがって、数列の和 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} k^2 (n-k+1)$

と表されます。これを展開して計算します。

$S = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} ( (n+1)k^2 - k^3 )$

$S = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

これらの公式を $S$ に代入します。

$S = (n+1) \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S = \frac{n(n+1)^2(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S = \frac{2n(n+1)^2(2n+1) - 3n^2(n+1)^2}{12}$

$S = \frac{n(n+1)^2(2(2n+1) - 3n)}{12}$

$S = \frac{n(n+1)^2(4n+2 - 3n)}{12}$

$S = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$