(1) ベクトル $\vec{a} = (2, -3x, 8)$ と $\vec{b} = (3x, -6, 4y-2)$ が平行であるとき、$x, y$ の値を求める。 (2) 4点 $A(3, 3, 2), B(0, 4, 0), C, D(5, 1, -2)$ がある。四角形 $ABCD$ が平行四辺形であるとき、点 $C$ の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (2, -3x, 8)$ と $\vec{b} = (3x, -6, 4y-2)$ が平行であるとき、$x, y$ の値を求める。

(2) 4点 $A(3, 3, 2), B(0, 4, 0), C, D(5, 1, -2)$ がある。四角形 $ABCD$ が平行四辺形であるとき、点 $C$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $k$ が存在して $\vec{b} = k\vec{a}$ が成り立つ。

よって、

$(3x, -6, 4y-2) = k(2, -3x, 8)$

この式から、以下の連立方程式が得られる。

$3x = 2k$

$-6 = -3kx$

$4y-2 = 8k$

2番目の式から $2 = kx$ が得られる。

1番目の式 $3x = 2k$ より $k = \frac{3}{2}x$。

$2 = kx$ に代入すると、$2 = \frac{3}{2}x^2$。

よって、$x^2 = \frac{4}{3}$。

したがって、$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

$x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、$k = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$。

$4y-2 = 8k$ より $4y = 2 + 8k = 2 + 8\sqrt{3}$。

よって、$y = \frac{1}{2} + 2\sqrt{3}$。

$x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき、$k = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}$。

$4y-2 = 8k$ より $4y = 2 + 8k = 2 - 8\sqrt{3}$。

よって、$y = \frac{1}{2} - 2\sqrt{3}$。

(2)

四角形 $ABCD$ が平行四辺形であるとき、$\vec{AB} = \vec{DC}$ が成り立つ。

$\vec{AB} = (0-3, 4-3, 0-2) = (-3, 1, -2)$

$\vec{DC} = (x_C - 5, y_C - 1, z_C - (-2)) = (x_C - 5, y_C - 1, z_C + 2)$

$\vec{AB} = \vec{DC}$ より、

$x_C - 5 = -3$

$y_C - 1 = 1$

$z_C + 2 = -2$

したがって、$x_C = 2$, $y_C = 2$, $z_C = -4$。

点 $C$ の座標は $(2, 2, -4)$。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき $y = \frac{1}{2} + 2\sqrt{3}$

$x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき $y = \frac{1}{2} - 2\sqrt{3}$

(2) $C(2, 2, -4)$