画像に写っている6つの問題のうち、以下の問題を解きます。 (1) ある数の2倍に3をたして2乗した数と、もとの数の2乗を2倍して9をたした数が等しくなる。もとの数を求めなさい。 (2) ある数に4を加えて2乗すると、もとの数より60大きくなった。もとの数を求めなさい。 (3) 大小2つの自然数がある。その差は6で、小さいほうの数の2乗は、大きいほうの数の2倍に3を加えた数に等しい。この2つの数を求めなさい。 (4) 連続した2つの自然数がある。それぞれを2乗した数の和が2つの数の積より13大きくなるとき、これら2つの自然数を求めなさい。 (5) 連続した3つの自然数がある。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は、真ん中の数の4倍より44大きい。この3つの自然数を求めなさい。 (6) 連続した3つの自然数がある。それぞれの自然数を2乗して、それらの和を計算すると77になった。この3つの自然数を求めなさい。

1. 問題の内容

画像に写っている6つの問題のうち、以下の問題を解きます。

(1) ある数の2倍に3をたして2乗した数と、もとの数の2乗を2倍して9をたした数が等しくなる。もとの数を求めなさい。

(2) ある数に4を加えて2乗すると、もとの数より60大きくなった。もとの数を求めなさい。

(3) 大小2つの自然数がある。その差は6で、小さいほうの数の2乗は、大きいほうの数の2倍に3を加えた数に等しい。この2つの数を求めなさい。

(4) 連続した2つの自然数がある。それぞれを2乗した数の和が2つの数の積より13大きくなるとき、これら2つの自然数を求めなさい。

(5) 連続した3つの自然数がある。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は、真ん中の数の4倍より44大きい。この3つの自然数を求めなさい。

(6) 連続した3つの自然数がある。それぞれの自然数を2乗して、それらの和を計算すると77になった。この3つの自然数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 求める数を $x$ とすると、問題文から次の等式が成り立つ。

$$(2x+3)^2 = 2x^2 + 9$$

左辺を展開して整理すると、

$$4x^2 + 12x + 9 = 2x^2 + 9$$

$$2x^2 + 12x = 0$$

$$2x(x+6) = 0$$

よって、$x = 0, -6$

(2) 求める数を $x$ とすると、問題文から次の等式が成り立つ。

$$(x+4)^2 = x + 60$$

左辺を展開して整理すると、

$$x^2 + 8x + 16 = x + 60$$

$$x^2 + 7x - 44 = 0$$

$$(x+11)(x-4) = 0$$

よって、$x = -11, 4$

(3) 小さい方の自然数を $x$ とすると、大きい方の自然数は $x+6$ となる。問題文から次の等式が成り立つ。

$$x^2 = 2(x+6) + 3$$

整理すると、

$$x^2 = 2x + 12 + 3$$

$$x^2 - 2x - 15 = 0$$

$$(x-5)(x+3) = 0$$

$x$ は自然数なので、$x = 5$。

したがって、2つの自然数は 5 と 11。

(4) 小さい方の自然数を $x$ とすると、大きい方の自然数は $x+1$ となる。問題文から次の等式が成り立つ。

$$x^2 + (x+1)^2 = x(x+1) + 13$$

整理すると、

$$x^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + x + 13$$

$$x^2 + x - 12 = 0$$

$$(x+4)(x-3) = 0$$

$x$ は自然数なので、$x = 3$。

したがって、2つの自然数は 3 と 4。

(5) 真ん中の自然数を $x$ とすると、最も小さい自然数は $x-1$, 最も大きい自然数は $x+1$ となる。問題文から次の等式が成り立つ。

$$(x-1)(x+1) = 4x + 44$$

整理すると、

$$x^2 - 1 = 4x + 44$$

$$x^2 - 4x - 45 = 0$$

$$(x-9)(x+5) = 0$$

$x$ は自然数なので、$x = 9$。

したがって、3つの自然数は 8, 9, 10。

(6) 真ん中の自然数を $x$ とすると、3つの自然数は $x-1, x, x+1$ となる。問題文から次の等式が成り立つ。

$$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 77$$

整理すると、

$$x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 77$$

$$3x^2 + 2 = 77$$

$$3x^2 = 75$$

$$x^2 = 25$$

$x$ は自然数なので、$x = 5$。

したがって、3つの自然数は 4, 5, 6。

3. 最終的な答え

(1) 0, -6

(2) -11, 4

(3) 5, 11

(4) 3, 4

(5) 8, 9, 10

(6) 4, 5, 6