$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

##

1. 問題の内容

この画像には、3つの数学の問題が含まれています。

* 問題14：三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$のとき、この三角形の面積$S$を求めなさい。

* 問題15：三角形ABCにおいて、$A=45^\circ$, $B=60^\circ$, $a=10$のとき、$b$の値を求めなさい。

* 問題16：三角形ABCにおいて、$C=45^\circ$, $c=4\sqrt{2}$のとき、この三角形の外接円の半径を求めなさい。

ここでは、問題14と15を解きます。

##

2. 解き方の手順

### 問題14

1. 三角形の面積の公式を利用します。二辺とその間の角が分かっているとき、面積は以下の式で計算できます。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

2. 与えられた値を代入します。

$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$なので、

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ$

3. $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、面積を計算します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

### 問題15

1. 正弦定理を利用します。正弦定理は、三角形の辺の長さとその対角のサインの比が等しいという定理です。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

2. $b$を求めるために必要な部分だけを取り出して式を立てます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

3. 与えられた値を代入します。

$A=45^\circ$, $B=60^\circ$, $a=10$なので、

$\frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$

4. $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$b$について解きます。

$\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$10 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}}$

$b = \frac{20}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6}$

##

3. 最終的な答え

* 問題14の答え： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

* 問題15の答え： $5\sqrt{6}$