第 $n$ 群が $n$ 個の数を含む群数列について、以下の問いに答えます。 (1) 第 $n$ 群の総和を求めよ。 (2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目か。 (3) 最初の項から1999番目の項は、第何群の何番目か。また、その数を求めよ。

代数学数列群数列等差数列項数
2025/8/8
はい、承知いたしました。問題29を解いていきます。

1. 問題の内容

nn 群が nn 個の数を含む群数列について、以下の問いに答えます。
(1) 第 nn 群の総和を求めよ。
(2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目か。
(3) 最初の項から1999番目の項は、第何群の何番目か。また、その数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 nn 群の総和
nn 群は、 n,n+1,n+2,...,2n1n, n+1, n+2, ..., 2n-1 という nn 個の数から構成されます。
nn 群の総和を SnS_n とすると、
Sn=n+(n+1)+(n+2)+...+(2n1)S_n = n + (n+1) + (n+2) + ... + (2n-1)
これは等差数列の和なので、
Sn=n2(n+(2n1))=n(3n1)2S_n = \frac{n}{2} (n + (2n-1)) = \frac{n(3n-1)}{2}
(2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目か。
nn 群の最初の数が nn であることに注目します。
99 が第 nn 群に含まれるとすると、n992n1n \le 99 \le 2n-1 が成り立ちます。
n99n \le 99 より、nn は 99 以下である必要があります。
992n199 \le 2n-1 より、1002n100 \le 2n なので、n50n \ge 50 である必要があります。
つまり、99 が現れる群は第 50 群から第 99 群の間にあることになります。
99 が初めて現れるのは、第99群の1番目です。なぜなら、第 nn 群の最初の数は nn であるため、99 が初めて現れるのは第 99 群の最初の数としてです。
(3) 最初の項から1999番目の項は、第何群の何番目か。また、その数を求めよ。
まず、第 nn 群までの項数の合計を求めます。
kk 群には kk 個の項があるので、第 nn 群までの項数の合計は
k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
この合計が1999に近い nn を探します。
n(n+1)21999\frac{n(n+1)}{2} \approx 1999
n(n+1)3998n(n+1) \approx 3998
n2+n39980n^2 + n - 3998 \approx 0
n1±1+4×399821±1599321±126.462n \approx \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 3998}}{2} \approx \frac{-1 \pm \sqrt{15993}}{2} \approx \frac{-1 \pm 126.46}{2}
nn は正の整数なので、n125.46262.73n \approx \frac{125.46}{2} \approx 62.73
n=62n = 62 とすると、62×632=1953\frac{62 \times 63}{2} = 1953
n=63n = 63 とすると、63×642=2016\frac{63 \times 64}{2} = 2016
したがって、1999番目の項は第63群に含まれます。
1999番目の項は、第63群の 19991953=461999 - 1953 = 46 番目の項です。
第63群は、63,64,65,...,12463, 64, 65, ..., 124 という数列です。
第63群の46番目の項は 63+(461)=63+45=10863 + (46-1) = 63 + 45 = 108 です。

3. 最終的な答え

(1) 第 nn 群の総和: n(3n1)2\frac{n(3n-1)}{2}
(2) 初めて99が現れるのは: 第99群の1番目
(3) 最初の項から1999番目の項は: 第63群の46番目、その数は108

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