第 $n$ 群が $n$ 個の数を含む群数列について、以下の問いに答えます。 (1) 第 $n$ 群の総和を求めよ。 (2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目か。 (3) 最初の項から1999番目の項は、第何群の何番目か。また、その数を求めよ。
2025/8/8
はい、承知いたしました。問題29を解いていきます。
1. 問題の内容
第 群が 個の数を含む群数列について、以下の問いに答えます。
(1) 第 群の総和を求めよ。
(2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目か。
(3) 最初の項から1999番目の項は、第何群の何番目か。また、その数を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 第 群の総和
第 群は、 という 個の数から構成されます。
第 群の総和を とすると、
これは等差数列の和なので、
(2) 初めて99が現れるのは、第何群の何番目か。
第 群の最初の数が であることに注目します。
99 が第 群に含まれるとすると、 が成り立ちます。
より、 は 99 以下である必要があります。
より、 なので、 である必要があります。
つまり、99 が現れる群は第 50 群から第 99 群の間にあることになります。
99 が初めて現れるのは、第99群の1番目です。なぜなら、第 群の最初の数は であるため、99 が初めて現れるのは第 99 群の最初の数としてです。
(3) 最初の項から1999番目の項は、第何群の何番目か。また、その数を求めよ。
まず、第 群までの項数の合計を求めます。
第 群には 個の項があるので、第 群までの項数の合計は
この合計が1999に近い を探します。
は正の整数なので、
とすると、
とすると、
したがって、1999番目の項は第63群に含まれます。
1999番目の項は、第63群の 番目の項です。
第63群は、 という数列です。
第63群の46番目の項は です。
3. 最終的な答え
(1) 第 群の総和:
(2) 初めて99が現れるのは: 第99群の1番目
(3) 最初の項から1999番目の項は: 第63群の46番目、その数は108