問題は2つあります。 (1) 関数 $y = -\frac{6}{x}$ のグラフ上の点Aの $x$ 座標が3であり、点Bの座標が(0, 4)であるとき、点Aと点Bを通る直線②の式を求める問題です。 (2) y軸上の点Dの座標が(0, -4)であり、関数 $y = -\frac{6}{x}$ のグラフ上に $x<0$ である点Cをとる。四角形ABCDの面積が28となるときの点Cの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $y = -\frac{6}{x}$ のグラフ上の点Aの $x$ 座標が3であり、点Bの座標が(0, 4)であるとき、点Aと点Bを通る直線②の式を求める問題です。

(2) y軸上の点Dの座標が(0, -4)であり、関数 $y = -\frac{6}{x}$ のグラフ上に $x<0$ である点Cをとる。四角形ABCDの面積が28となるときの点Cの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Aの座標を求めます。点Aは $y = -\frac{6}{x}$ 上にあり、$x$ 座標が3なので、$y = -\frac{6}{3} = -2$。よって、点Aの座標は(3, -2)です。

次に、点B(0, 4)と点A(3, -2)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおきます。

点B(0, 4)を通るので、$4 = a \times 0 + b$。したがって、$b = 4$。

点A(3, -2)を通るので、$-2 = 3a + 4$。これから、$3a = -6$、$a = -2$。

よって、直線②の式は、$y = -2x + 4$。

(2)

点Cは $y = -\frac{6}{x}$ 上にあるので、点Cの座標を $(x, -\frac{6}{x})$ とおきます。ただし、$x < 0$ です。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積と三角形ACDの面積の和です。

三角形ABCの面積は、底辺をAB、高さを点Cから直線ABまでの距離と考えると計算が複雑になるので、座標を使った公式を利用します。座標 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) を頂点とする三角形の面積は $\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ で計算できます。この式にA(3, -2), B(0, 4), C(x, -6/x)を代入すると、

$\frac{1}{2} |3(4 + \frac{6}{x}) + 0(-\frac{6}{x} + 2) + x(-2-4)| = \frac{1}{2} |12 + \frac{18}{x} - 6x| = |6 + \frac{9}{x} - 3x|$

三角形ACDの面積は、点A(3, -2), C(x, -6/x), D(0, -4)として同様に計算すると、

$\frac{1}{2} |3(-\frac{6}{x} + 4) + x(-4 + 2) + 0(-2 + \frac{6}{x})| = \frac{1}{2} |-\frac{18}{x} + 12 - 2x| = |-\frac{9}{x} + 6 - x|$

四角形ABCDの面積は28なので、

$|6 + \frac{9}{x} - 3x| + |-\frac{9}{x} + 6 - x| = 28$

$x < 0$ であることに注意して場合分けを行います。

まず、$6 + \frac{9}{x} - 3x \ge 0$ かつ $-\frac{9}{x} + 6 - x \ge 0$ の場合

$6 + \frac{9}{x} - 3x - \frac{9}{x} + 6 - x = 28$

$12 - 4x = 28$

$-4x = 16$

$x = -4$

このとき $6 + \frac{9}{-4} - 3(-4) = 6 - \frac{9}{4} + 12 = 18 - \frac{9}{4} = \frac{63}{4} > 0$

$-\frac{9}{-4} + 6 - (-4) = \frac{9}{4} + 6 + 4 = 10 + \frac{9}{4} = \frac{49}{4} > 0$

なので、これは条件を満たします。このとき $y = -\frac{6}{-4} = \frac{3}{2}$

したがって、$C(-4, \frac{3}{2})$

次に、$6 + \frac{9}{x} - 3x < 0$ かつ $-\frac{9}{x} + 6 - x < 0$ の場合

$-6 - \frac{9}{x} + 3x + \frac{9}{x} - 6 + x = 28$

$-12 + 4x = 28$

$4x = 40$

$x = 10$

これは $x < 0$ に反するので不適。

次に、$6 + \frac{9}{x} - 3x \ge 0$ かつ $-\frac{9}{x} + 6 - x < 0$ の場合

$6 + \frac{9}{x} - 3x + \frac{9}{x} - 6 + x = 28$

$\frac{18}{x} - 2x = 28$

$18 - 2x^2 = 28x$

$2x^2 + 28x - 18 = 0$

$x^2 + 14x - 9 = 0$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4(-9)}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 36}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{232}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{58}}{2} = -7 \pm \sqrt{58}$

$x < 0$ であることから $x = -7 - \sqrt{58}$

$C(-7 - \sqrt{58}, \frac{6}{7 + \sqrt{58}})$

最後に、$6 + \frac{9}{x} - 3x < 0$ かつ $-\frac{9}{x} + 6 - x \ge 0$ の場合

$-6 - \frac{9}{x} + 3x - \frac{9}{x} + 6 - x = 28$

$-\frac{18}{x} + 2x = 28$

$-18 + 2x^2 = 28x$

$2x^2 - 28x - 18 = 0$

$x^2 - 14x - 9 = 0$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(-9)}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 36}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{232}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{58}}{2} = 7 \pm \sqrt{58}$

$x < 0$ を満たす解はないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 4$

(2) $C(-4, \frac{3}{2})$