与えられた式 $x^2 - (y-5)x - 2y(y+5)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (y-5)x - 2y(y+5)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は $x$ についての二次式とみなせるので、因数分解できるかどうかを検討します。まず、定数項 $-2y(y+5)$ を展開します。

$-2y(y+5) = -2y^2 - 10y$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$x^2 - (y-5)x - 2y^2 - 10y$

次に、この式が $(x+A)(x+B)$ の形に因数分解できると仮定します。このとき、$A+B = -(y-5)$ であり、$AB = -2y^2 - 10y$ である必要があります。

$AB = -2y(y+5)$ より、$A$ と $B$ のどちらかが正で、もう一方が負である必要があります。

$A = y$, $B = -2(y+5) = -2y - 10$とすると、

$A+B = y - 2y - 10 = -y - 10 = -(y+10)$ となります。

これは $-(y-5)$ と一致しません。

$A = -2y$, $B = y+5$とすると、

$A+B = -2y + y + 5 = -y + 5 = -(y-5)$ となり、条件を満たします。

よって、因数分解は $(x-2y)(x+y+5)$となります。

3. 最終的な答え

$(x-2y)(x+y+5)$