正方形の紙の四隅から一辺が4cmの正方形を切り取り、蓋のない直方体の容器を作ったところ、その容積が196cm³になった。 (1) 元の正方形の一辺の長さを $x$ cmとするとき、直方体の底面の一辺の長さを $x$ を使って表す。 (2) 元の正方形の一辺の長さを求める。

1. 問題の内容

正方形の紙の四隅から一辺が4cmの正方形を切り取り、蓋のない直方体の容器を作ったところ、その容積が196cm³になった。

(1) 元の正方形の一辺の長さを $x$ cmとするとき、直方体の底面の一辺の長さを $x$ を使って表す。

(2) 元の正方形の一辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 直方体の底面の一辺の長さは、元の正方形の一辺の長さ $x$ から、両端の4cmずつを引いたものになる。したがって、直方体の底面の一辺の長さは $x - 4 - 4 = x - 8$ cmとなる。

(2) 直方体の容積は、底面積 $\times$ 高さで求められる。底面は一辺が $x-8$ cmの正方形なので、底面積は $(x-8)^2$ cm²。高さは切り取った正方形の一辺の長さである4cm。したがって、直方体の容積は $4(x-8)^2$ cm³と表せる。問題文より、容積は196cm³なので、以下の方程式が成り立つ。

$4(x-8)^2 = 196$

$(x-8)^2 = \frac{196}{4}$

$(x-8)^2 = 49$

$x-8 = \pm \sqrt{49}$

$x-8 = \pm 7$

$x = 8 \pm 7$

$x = 15$ または $x = 1$

$x$ は正方形の一辺の長さなので、$x>8$ でないといけない。したがって、$x = 15$

3. 最終的な答え

(1) $x-8$ cm

(2) 15 cm