三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された値を求める問題です。 (1) $A = 60^\circ$, $b = 5$, $c = 3$のとき、$a$を求める。 (2) $a = 2$, $b = \sqrt{6}$, $B = 60^\circ$のとき、$c$を求める。 (3) $a = \sqrt{10}$, $b = \sqrt{2}$, $c = 2$のとき、$A$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された値を求める問題です。

(1) $A = 60^\circ$, $b = 5$, $c = 3$のとき、$a$を求める。

(2) $a = 2$, $b = \sqrt{6}$, $B = 60^\circ$のとき、$c$を求める。

(3) $a = \sqrt{10}$, $b = \sqrt{2}$, $c = 2$のとき、$A$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を利用して$a$を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 5^2 + 3^2 - 2(5)(3)\cos 60^\circ$

$a^2 = 25 + 9 - 30(\frac{1}{2})$

$a^2 = 34 - 15$

$a^2 = 19$

$a > 0$より、$a = \sqrt{19}$

(2) 余弦定理を利用して$c$を求める。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$(\sqrt{6})^2 = 2^2 + c^2 - 2(2)c\cos 60^\circ$

$6 = 4 + c^2 - 4c(\frac{1}{2})$

$6 = 4 + c^2 - 2c$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

解の公式より、

$c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$

$c = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$c = 1 \pm \sqrt{3}$

$c > 0$より、$c = 1 + \sqrt{3}$

(3) 余弦定理を利用して$\cos A$を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2^2 - (\sqrt{10})^2}{2(\sqrt{2})(2)}$

$\cos A = \frac{2 + 4 - 10}{4\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{-4}{4\sqrt{2}}$

$\cos A = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 135^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{19}$

(2) $c = 1 + \sqrt{3}$

(3) $A = 135^\circ$