平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をOとする。$\angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ}$ という条件が与えられたとき、この四角形ABCDはどのような四角形になるかを、選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をOとする。$\angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ}$ という条件が与えられたとき、この四角形ABCDはどのような四角形になるかを、選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ}$ であることから、三角形OABは二等辺三角形であることがわかります。つまり、$OA = OB$です。

平行四辺形の性質として、対角線はそれぞれの中点で交わります。したがって、$OA = OC$ かつ $OB = OD$ が成り立ちます。

$OA = OB$ なので、$OA = OB = OC = OD$ となり、対角線の長さが等しくなります。

次に、$\angle AOB$を求めます。三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、

$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$

対角線が直交し、かつ対角線の長さが等しい平行四辺形は正方形です。

3. 最終的な答え

正方形