三角形ABCにおいて、以下の条件で指定された値を求めます。 (1) $b = \sqrt{6}$, $c = \sqrt{3} - 1$, $A = 45^\circ$ のとき、$a$, $B$, $C$を求める。 (2) $a = 1 + \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{6}$ のとき、$A$, $B$, $C$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件で指定された値を求めます。

(1) $b = \sqrt{6}$, $c = \sqrt{3} - 1$, $A = 45^\circ$ のとき、$a$, $B$, $C$を求める。

(2) $a = 1 + \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{6}$ のとき、$A$, $B$, $C$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$a$を求め、正弦定理や余弦定理を用いて$B$, $C$を求める。

まず、余弦定理より

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1)\cos 45^\circ$

$a^2 = 6 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{6}(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 10 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}(3 - \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 10 - 2\sqrt{3} - \sqrt{12}(3 - \sqrt{3})$

$a^2 = 10 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) \cdot \sqrt{2} = 10-2\sqrt{3} - (2\sqrt{18}-2\sqrt{6}) \frac{\sqrt{2}}{2}= 10 - 2\sqrt{3} - (3\sqrt{2}-\sqrt{2})=10 - 2\sqrt{3} - (6\sqrt{6}-2\sqrt{2})=4$

よって、$a = 2$（$a > 0$より）。

次に、正弦定理より

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{\sqrt{6}\sin 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$B = 60^\circ$または$120^\circ$。

$A = 45^\circ$より、$B = 60^\circ$のとき、$C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$。

$B = 120^\circ$のとき、$C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$。

$C = 75^\circ$ のとき、$c = \sqrt{3} - 1 > a=2$よりこれはありえない。なぜならば$a$が一番小さいから、$\angle{A}$が一番小さくなければならないから。

よって、$B = 75^\circ$または$B = 105^\circ$

$a = 2, b=\sqrt{6}, A = 45^\circ$の時、$c=\sqrt{3}-1$なので、余弦定理より

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$(\sqrt{3}-1)^2 = 2^2 + (\sqrt{6})^2 - 2*2*\sqrt{6}\cos C$

$3-2\sqrt{3}+1 = 4+6 - 4\sqrt{6}\cos C$

$4-2\sqrt{3} = 10-4\sqrt{6}\cos C$

$-6-2\sqrt{3} = -4\sqrt{6}\cos C$

$6+2\sqrt{3} = 4\sqrt{6}\cos C$

$\frac{6+2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \cos C$

$\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \cos C$

$C = 15^\circ$

(2) 余弦定理を用いて$\cos A$, $\cos B$, $\cos C$を求め、$A$, $B$, $C$を求める。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (1 + \sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6}} = \frac{4 + 6 - (1 + 2\sqrt{3} + 3)}{4\sqrt{6}} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{4}\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}\sqrt{6}-2-1}{2}}

よって、$A = 45^\circ$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2^2}{2 (1 + \sqrt{3}) \sqrt{6}} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 6 - 4}{2 \sqrt{6} (1 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2 \sqrt{6} (1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} (1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6} (1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$B = 45^\circ$。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $B = 75^\circ$, $C = 60^\circ$

(2) $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $C = 75^\circ$