問題75は、以下の2つの点の座標を求める問題です。 (1) 線分ABを2:1に内分する点Cがあり、点Aと点Cの座標が与えられたときに、点Bの座標を求めます。 (2) 点Aに関して、点Bと対称な点Cの座標を求めます。

1. 問題の内容

問題75は、以下の2つの点の座標を求める問題です。

(1) 線分ABを2:1に内分する点Cがあり、点Aと点Cの座標が与えられたときに、点Bの座標を求めます。

(2) 点Aに関して、点Bと対称な点Cの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを2:1に内分する点Cの座標を求める公式を利用します。点Aの座標を$(x_A, y_A)$、点Bの座標を$(x_B, y_B)$とすると、点Cの座標$(x_C, y_C)$は次の式で表されます。

$x_C = \frac{1 \cdot x_A + 2 \cdot x_B}{2+1}$

$y_C = \frac{1 \cdot y_A + 2 \cdot y_B}{2+1}$

問題文より、点Aの座標は(-1, 1)、点Cの座標は(-3, -5)です。点Bの座標を$(x_B, y_B)$として、上記の式に代入します。

$-3 = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot x_B}{3}$

$-5 = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot y_B}{3}$

これらの式を$x_B$と$y_B$について解きます。

$-9 = -1 + 2x_B$

$2x_B = -8$

$x_B = -4$

$-15 = 1 + 2y_B$

$2y_B = -16$

$y_B = -8$

したがって、点Bの座標は(-4, -8)です。

(2) 点Aに関して点Bと対称な点Cの座標を求めます。点Aを線分BCの中点と考えると、点Cの座標$(x_C, y_C)$は次の式で表されます。

$x_A = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_A = \frac{y_B + y_C}{2}$

問題文より、点Aの座標は(-1, 1)、点Bの座標は(1, 6)です。上記の式に代入します。

$-1 = \frac{1 + x_C}{2}$

$1 = \frac{6 + y_C}{2}$

これらの式を$x_C$と$y_C$について解きます。

$-2 = 1 + x_C$

$x_C = -3$

$2 = 6 + y_C$

$y_C = -4$

したがって、点Cの座標は(-3, -4)です。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は (-4, -8)

(2) 点Cの座標は (-3, -4)