76番：点$(-5, -3)$を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める問題。2つの小問がある。 (1) $x + 4y - 1 = 0$ に垂直な直線 (2) $x + 6 = 0$ に垂直な直線 77番：2点$A(1, -6)$, $B(-5, 2)$があるとき、線分ABの垂直二等分線の方程式を求める問題。

1. 問題の内容

76番：点$(-5, -3)$を通り、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める問題。2つの小問がある。

(1) $x + 4y - 1 = 0$ に垂直な直線

(2) $x + 6 = 0$ に垂直な直線

77番：2点$A(1, -6)$, $B(-5, 2)$があるとき、線分ABの垂直二等分線の方程式を求める問題。

2. 解き方の手順

76番：

(1) 与えられた直線の方程式 $x + 4y - 1 = 0$ を $y$ について解き、傾きを求める。

$4y = -x + 1$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$

傾きは $-\frac{1}{4}$。

これに垂直な直線の傾きは、$-\frac{1}{4}$の逆数の符号を反転させたものなので、4となる。

点$(-5, -3)$を通り、傾きが4の直線の方程式を求める。

$y - (-3) = 4(x - (-5))$

$y + 3 = 4(x + 5)$

$y + 3 = 4x + 20$

$y = 4x + 17$

(2) 与えられた直線 $x + 6 = 0$ は $x = -6$ という縦線である。これに垂直な直線は横線となる。

点$(-5, -3)$を通る横線は $y = -3$。

77番：

線分ABの中点を求める。中点の座標は$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$で求められるので、

中点の座標は $\left(\frac{1+(-5)}{2}, \frac{-6+2}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{-4}{2}\right) = (-2, -2)$

線分ABの傾きを求める。傾きは$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$で求められるので、

傾きは $\frac{2 - (-6)}{-5 - 1} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$

線分ABの垂直二等分線は、線分ABと直交するから、その傾きは$-\frac{4}{3}$の逆数の符号を反転させたものなので、$\frac{3}{4}$となる。

中点$(-2, -2)$を通り、傾きが$\frac{3}{4}$の直線の方程式を求める。

$y - (-2) = \frac{3}{4}(x - (-2))$

$y + 2 = \frac{3}{4}(x + 2)$

$4(y + 2) = 3(x + 2)$

$4y + 8 = 3x + 6$

$4y = 3x - 2$

$3x - 4y - 2 = 0$

3. 最終的な答え

76番：

(1) $y = 4x + 17$

(2) $y = -3$

77番：

$3x - 4y - 2 = 0$