点と直線の距離を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問を解きます。 (1) 原点と直線 $4x - 3y - 2 = 0$ の距離 (2) 点 $(2, -5)$ と直線 $3x + y - 3 = 0$ の距離 (3) 点 $(3, 4)$ と直線 $5x - 2y - 6 = 0$ の距離 (4) 点 $(-3, 1)$ と直線 $6x - 8y + 3 = 0$ の距離

1. 問題の内容

点と直線の距離を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問を解きます。

(1) 原点と直線 $4x - 3y - 2 = 0$ の距離

(2) 点 $(2, -5)$ と直線 $3x + y - 3 = 0$ の距離

(3) 点 $(3, 4)$ と直線 $5x - 2y - 6 = 0$ の距離

(4) 点 $(-3, 1)$ と直線 $6x - 8y + 3 = 0$ の距離

2. 解き方の手順

点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式をそれぞれの小問に適用します。

(1) 原点 $(0, 0)$ と直線 $4x - 3y - 2 = 0$ の距離

$x_1 = 0$, $y_1 = 0$, $a = 4$, $b = -3$, $c = -2$ を代入します。

$d = \frac{|4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$

(2) 点 $(2, -5)$ と直線 $3x + y - 3 = 0$ の距離

$x_1 = 2$, $y_1 = -5$, $a = 3$, $b = 1$, $c = -3$ を代入します。

$d = \frac{|3 \cdot 2 + 1 \cdot (-5) - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 5 - 3|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-2|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(3) 点 $(3, 4)$ と直線 $5x - 2y - 6 = 0$ の距離

$x_1 = 3$, $y_1 = 4$, $a = 5$, $b = -2$, $c = -6$ を代入します。

$d = \frac{|5 \cdot 3 - 2 \cdot 4 - 6|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{|15 - 8 - 6|}{\sqrt{25 + 4}} = \frac{|1|}{\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{29}}{29}$

(4) 点 $(-3, 1)$ と直線 $6x - 8y + 3 = 0$ の距離

$x_1 = -3$, $y_1 = 1$, $a = 6$, $b = -8$, $c = 3$ を代入します。

$d = \frac{|6 \cdot (-3) - 8 \cdot 1 + 3|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{|-18 - 8 + 3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{|-23|}{\sqrt{100}} = \frac{23}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(3) $\frac{\sqrt{29}}{29}$

(4) $\frac{23}{10}$