定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は、逆三角関数 $\arctan x$ の微分が $\frac{1}{x^2+1}$ であることを利用します。

すなわち、

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x + C$ （Cは積分定数）

したがって、

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_{0}^{\sqrt{3}}$

$\arctan \sqrt{3}$ は、$tan \theta = \sqrt{3}$ となるような角度 $\theta$ を意味します。$0 \leq \theta \leq \pi/2$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{3}$となります。

$\arctan 0$ は、$tan \theta = 0$ となるような角度 $\theta$ を意味します。$0 \leq \theta \leq \pi/2$ の範囲で考えると、$\theta = 0$となります。

よって、

$[\arctan x]_{0}^{\sqrt{3}} = \arctan \sqrt{3} - \arctan 0 = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$