定積分 $\int_{-2}^{2\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。

この問題の場合、$a=4$ なので、

$$\int \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{4}) + C$$

となります。

したがって、定積分は

$$\int_{-2}^{2\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}} dx = \left[ \arcsin(\frac{x}{4}) \right]_{-2}^{2\sqrt{3}}$$

$$= \arcsin(\frac{2\sqrt{3}}{4}) - \arcsin(\frac{-2}{4})$$

$$= \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin(-\frac{1}{2})$$

$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ であり、$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ であるから、

$$\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$