媒介変数表示された関数 $x = 1 - \cos\theta$ および $y = \theta - \sin\theta$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $\theta$ で表す問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された関数 $x = 1 - \cos\theta$ および $y = \theta - \sin\theta$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $\theta$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{d\theta}$ と $\frac{dx}{d\theta}$ を求めます。

$x = 1 - \cos\theta$ より、

$$\frac{dx}{d\theta} = \sin\theta$$

$y = \theta - \sin\theta$ より、

$$\frac{dy}{d\theta} = 1 - \cos\theta$$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。これは $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ で計算できます。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$$

ここで、半角の公式を用いて式を整理します。

$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$

$1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$

よって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} = \tan\frac{\theta}{2}$$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。これは $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ ですが、$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{d\theta}{dx}$ として計算します。

$$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{d\theta}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}}$$

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{1}{\sin\theta}$ より、

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{\sin\theta} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2} \cdot 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{4\sin\frac{\theta}{2}\cos^3\frac{\theta}{2}}$$

三角関数の倍角の公式を使うと

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2 \sin \theta \cos^2(\theta/2)}$$

さらに半角の公式 $\cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ を使うと

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{\sin \theta (1 + \cos \theta)}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \tan\frac{\theta}{2}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{\sin\theta(1 + \cos\theta)}$$