次の定積分の計算をせよ。 $\int_{-1}^{0} x(x+2) dx - \int_{0}^{1} x(x-2) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の計算をせよ。

$\int_{-1}^{0} x(x+2) dx - \int_{0}^{1} x(x-2) dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} x(x+2) dx = \int_{-1}^{0} (x^2 + 2x) dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_{-1}^{0}$

$= (0 + 0) - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 \right)$

$= - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right)$

$= - \frac{2}{3}$

次に、もう一つの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x(x-2) dx = \int_{0}^{1} (x^2 - 2x) dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 \right) - (0 - 0)$

$= \frac{1}{3} - 1$

$= -\frac{2}{3}$

したがって、求める値は

$\int_{-1}^{0} x(x+2) dx - \int_{0}^{1} x(x-2) dx = -\frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right)$

$= -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$

3. 最終的な答え

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