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定積分の計算問題です。 $\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x-2)^2 dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算多項式
2025/8/8

1. 問題の内容

定積分の計算問題です。
∫−11(x+2)2dx−∫−11(x−2)2dx\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x-2)^2 dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分をまとめます。
∫−11(x+2)2dx−∫−11(x−2)2dx=∫−11[(x+2)2−(x−2)2]dx\int_{-1}^{1} (x+2)^2 dx - \int_{-1}^{1} (x-2)^2 dx = \int_{-1}^{1} [(x+2)^2 - (x-2)^2] dx
次に、被積分関数を展開して整理します。
(x+2)2−(x−2)2=(x2+4x+4)−(x2−4x+4)=x2+4x+4−x2+4x−4=8x(x+2)^2 - (x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 8x
したがって、積分は次のようになります。
∫−118xdx\int_{-1}^{1} 8x dx
8x8x を積分します。
∫8xdx=4x2+C\int 8x dx = 4x^2 + C
定積分を計算します。
∫−118xdx=[4x2]−11=4(1)2−4(−1)2=4−4=0\int_{-1}^{1} 8x dx = [4x^2]_{-1}^{1} = 4(1)^2 - 4(-1)^2 = 4 - 4 = 0

3. 最終的な答え

0

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