2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ が与えられており、そのグラフは下に凸の放物線である。$0 \le x \le 3$ の範囲で、$f(x)$ は $x = 3$ で最大値、$x = 1$ で最小値をとる。$f(3) = 3a + b$ かつ $f(1) = -a + b$であることから、$a$ と $b$ の値を求めよ。さらに、$a > 0$ が満たされることを確認する。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ が与えられており、そのグラフは下に凸の放物線である。$0 \le x \le 3$ の範囲で、$f(x)$ は $x = 3$ で最大値、$x = 1$ で最小値をとる。$f(3) = 3a + b$ かつ $f(1) = -a + b$であることから、$a$ と $b$ の値を求めよ。さらに、$a > 0$ が満たされることを確認する。

2. 解き方の手順

問題文から以下の2つの式が与えられています。

$3a + b = 9$

$-a + b = 1$

これらの式を連立方程式として解きます。

2つの式を引き算すると、

$(3a + b) - (-a + b) = 9 - 1$

$3a + b + a - b = 8$

$4a = 8$

$a = 2$

$a = 2$ を $-a + b = 1$ に代入すると、

$-2 + b = 1$

$b = 3$

したがって、$a = 2$ かつ $b = 3$ となります。

最後に、$a > 0$ を満たすか確認します。$a = 2$ なので、$a > 0$ は満たされます。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 3$