$a > 0$ とする。関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が4、最小値が-10のとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が4、最小値が-10のとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

軸は $x = 2$ で、定義域 $1 \le x \le 4$ の範囲に含まれる。

$a > 0$ より、下に凸の放物線であるから、頂点で最小値をとる。

よって、最小値は $f(2) = -4a + b = -10$。

最大値は、$x = 1$ または $x = 4$ でとる。

$f(1) = a(1 - 2)^2 - 4a + b = a - 4a + b = -3a + b$

$f(4) = a(4 - 2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b$

ここで2つの場合を考える。

(i) $f(1) = 4$ のとき、$-3a + b = 4$。

$-4a + b = -10$ との連立方程式を解くと、

$(-3a + b) - (-4a + b) = 4 - (-10)$

$a = 14$

$-4(14) + b = -10$

$-56 + b = -10$

$b = 46$

このとき、$f(4) = b = 46 > 4$ となり、不適。

(ii) $f(4) = 4$ のとき、$b = 4$。

$-4a + b = -10$ に代入すると、

$-4a + 4 = -10$

$-4a = -14$

$a = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

このとき、$f(1) = -3a + b = -3 \cdot \frac{7}{2} + 4 = -\frac{21}{2} + \frac{8}{2} = -\frac{13}{2} < 4$ であり、適する。

3. 最終的な答え

$a = \frac{7}{2}$, $b = 4$