$a$ は正の定数とする。区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、(1) 最大値を求めよ。(2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、(1) 最大値を求めよ。(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値

まず、関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

よって、この関数は $x=3$ で最大値 $9$ をとる上に凸の放物線です。定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

場合分けをします。

(i) $0 < a < 3$ のとき、区間 $[0, a]$ で $f(x)$ は単調増加なので、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $f(a) = -a^2 + 6a$

(ii) $3 \le a$ のとき、区間 $[0, a]$ で $x=3$ が含まれるので、$x=3$ で最大値をとります。

最大値は $f(3) = 9$

(2) 最小値

$f(x) = -(x-3)^2 + 9$ は上に凸の放物線であり、軸は $x=3$ です。定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考えます。

場合分けをします。

(i) $0 < a \le 3$ のとき、区間 $[0, a]$ で $f(x)$ は $x=0$ で最小値をとります。

最小値は $f(0) = -0^2 + 6(0) = 0$

(ii) $3 < a$ のとき、区間 $[0, a]$ で $f(x)$ は $x=a$ で最小値をとります。

最小値は $f(a) = -a^2 + 6a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a < 3$ のとき、$-a^2 + 6a$

$3 \le a$ のとき、$9$

(2) 最小値

$0 < a \le 3$ のとき、$0$

$3 < a$ のとき、$-a^2 + 6a$