与えられた連立方程式を解く問題です。 $x! - y^3 = 9$ $x = z$ ただし、$x$, $y$, $z$ は整数であると仮定します。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。

$x! - y^3 = 9$

$x = z$

ただし、$x$, $y$, $z$ は整数であると仮定します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ が小さい値から順番に、$x! - y^3 = 9$ を満たす整数 $y$ が存在するかを調べます。

$x = 0$ のとき、$x! = 1$ なので、

$1 - y^3 = 9$

$y^3 = -8$

$y = -2$

よって、$(x, y) = (0, -2)$ は解の一つです。

このとき、$x = z$ より $z = 0$ となります。

$x = 1$ のとき、$x! = 1$ なので、

$1 - y^3 = 9$

$y^3 = -8$

$y = -2$

よって、$(x, y) = (1, -2)$ は解の一つです。

このとき、$x = z$ より $z = 1$ となります。

$x = 2$ のとき、$x! = 2$ なので、

$2 - y^3 = 9$

$y^3 = -7$

$y$ は整数解を持ちません。

$x = 3$ のとき、$x! = 6$ なので、

$6 - y^3 = 9$

$y^3 = -3$

$y$ は整数解を持ちません。

$x = 4$ のとき、$x! = 24$ なので、

$24 - y^3 = 9$

$y^3 = 15$

$y$ は整数解を持ちません。

$x = 5$ のとき、$x! = 120$ なので、

$120 - y^3 = 9$

$y^3 = 111$

$y$ は整数解を持ちません。

$x = 6$ のとき、$x! = 720$ なので、

$720 - y^3 = 9$

$y^3 = 711$

$y$ は整数解を持ちません。

$x = 7$ のとき、$x! = 5040$ なので、

$5040 - y^3 = 9$

$y^3 = 5031$

$y$ は整数解を持ちません。

$y = \sqrt[3]{x! - 9}$ が整数になるような $x$ を探せば良い。$x$ が大きくなると、$x!$ も大きくなるので、$y$ が整数になるのは難しい。

したがって、整数の解は、

$(x, y, z) = (0, -2, 0)$

$(x, y, z) = (1, -2, 1)$

3. 最終的な答え

$(x, y, z) = (0, -2, 0), (1, -2, 1)$