$x = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$、$y = \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき、次の値を求めます。 (1) $x+y$、$xy$ (2) $3x^2 - 5xy + 3y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$、$y = \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき、次の値を求めます。

(1) $x+y$、$xy$

(2) $3x^2 - 5xy + 3y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$と$xy$を求めます。

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(1-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1 - 2\sqrt{2} + 2}{1-2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{-1} = -3 + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{1-2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{-1} = -3 - 2\sqrt{2}$

よって、

$x+y = (-3 + 2\sqrt{2}) + (-3 - 2\sqrt{2}) = -6$

$xy = (-3 + 2\sqrt{2})(-3 - 2\sqrt{2}) = (-3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

(2) $3x^2 - 5xy + 3y^2$の値を求めます。

$3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(x^2+y^2) - 5xy$

ここで、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ なので、

$x^2+y^2 = (-6)^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

したがって、

$3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(34) - 5(1) = 102 - 5 = 97$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = -6$, $xy = 1$

(2) $3x^2 - 5xy + 3y^2 = 97$