問題は、座標平面上に与えられた2つの関数 $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -x + 15$ の交点Pの座標を求めること、および正方形ABCDの面積を求めることです。ただし、正方形の頂点A,Bはy軸上にあり、Cは $y = \frac{1}{2}x$ 上にあり、Dは $y = -x + 15$ 上にあります。また、Dのy座標はCのy座標よりも大きいとします。座標の1目盛りは1cmとします。

1. 問題の内容

問題は、座標平面上に与えられた2つの関数 $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -x + 15$ の交点Pの座標を求めること、および正方形ABCDの面積を求めることです。ただし、正方形の頂点A,Bはy軸上にあり、Cは $y = \frac{1}{2}x$ 上にあり、Dは $y = -x + 15$ 上にあります。また、Dのy座標はCのy座標よりも大きいとします。座標の1目盛りは1cmとします。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を求める

点Pは $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -x + 15$ の交点なので、これらの方程式を連立させて解きます。

$\frac{1}{2}x = -x + 15$

$x = -2x + 30$

$3x = 30$

$x = 10$

$y = \frac{1}{2}(10) = 5$

よって、点Pの座標は(10, 5)です。

(2) 正方形ABCDの面積を求める

点Cは $y = \frac{1}{2}x$ 上にあるので、Cの座標を $(s, \frac{1}{2}s)$ とおきます。

点Dは $y = -x + 15$ 上にあるので、Dの座標を $(s, -s + 15)$ とおきます。

正方形ABCDの一辺の長さは $AD = CD$ です。

$AD$ は $y$ 軸上の点AからDまでの距離なので、$AD$ = $|-s+15 - y_A|$

$CD$ は点Cと点Dの $y$ 座標の差なので、$CD = |-s+15 - \frac{1}{2}s|$

ABはy軸に平行でCDに垂直なので、ABとCDは直交します。

AとBはy軸上にあり、正方形なので、$AB = s$ です。また、$AD=s$なので、$|-s+15 - y_A| = s$

CとDのx座標は等しく、ADはx軸に平行なので、$CD = |-s+15 - \frac{1}{2}s|$

したがって $AB = CD$ より、 $s = |-s + 15 - \frac{1}{2}s| = |-\frac{3}{2}s + 15|$.

よって、$s = -\frac{3}{2}s + 15$ または $s = \frac{3}{2}s - 15$.

$s = -\frac{3}{2}s + 15$ のとき、$\frac{5}{2}s = 15$ より $s = 6$.

$s = \frac{3}{2}s - 15$ のとき、$-\frac{1}{2}s = -15$ より $s = 30$.

Dのy座標はCのy座標より大きいので、$-s+15 > \frac{1}{2}s$.

$s=6$ のとき、$-6+15 > \frac{1}{2}(6)$、つまり $9 > 3$ であり、条件を満たします。

$s=30$ のとき、$-30+15 > \frac{1}{2}(30)$、つまり $-15 > 15$ となり、条件を満たしません。

したがって、$s=6$ です。

正方形の一辺の長さは6cmなので、面積は $6^2 = 36$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標: (10, 5)

(2) 正方形ABCDの面積: 36 cm$^2$