$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$。

1. 問題の内容

$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係を利用します。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ なので、

$\sin^2 \theta + (-\frac{2}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ なので、$\sin \theta > 0$ です。したがって、

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \cdot (-\frac{5}{2}) = -\frac{\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$