$\tan \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とします。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを利用します。

$\tan \theta = \frac{1}{2}$ なので、$\sin \theta = k$, $\cos \theta = 2k$ とおくことができます。（$k$は比例定数）

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本公式を利用します。

この式に$\sin \theta = k$ と $\cos \theta = 2k$ を代入すると、

$k^2 + (2k)^2 = 1$

$k^2 + 4k^2 = 1$

$5k^2 = 1$

$k^2 = \frac{1}{5}$

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ なので、$\sin \theta \ge 0$ かつ $\cos \theta \ge 0$ です。したがって、$k > 0$ である必要があります。

よって、$k = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = k = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = 2k = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$