$\tan{\theta} = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ である。

1. 問題の内容

$\tan{\theta} = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ である。

2. 解き方の手順

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{1}{4}$ なので、$\sin{\theta} = k$, $\cos{\theta} = 4k$ とおくことができる。

ここで、$k$ は正の定数である。

三角関数の相互関係より、

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

が成り立つので、

$k^2 + (4k)^2 = 1$

$k^2 + 16k^2 = 1$

$17k^2 = 1$

$k^2 = \frac{1}{17}$

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{17}} = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ より、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ は正の値をとるので、$k = \frac{1}{\sqrt{17}}$ である。

したがって、

$\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\cos{\theta} = 4 \times \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\cos{\theta} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$