6冊の医学書を3人の学生に配る。ただし、どの学生にも少なくとも1冊は配られるものとする。 (1) 6冊それぞれを区別しないとき、配り方は何通りか？ (2) 6冊それぞれを区別するとき、配り方は何通りか？

## 解答

1. 問題の内容

6冊の医学書を3人の学生に配る。ただし、どの学生にも少なくとも1冊は配られるものとする。

(1) 6冊それぞれを区別しないとき、配り方は何通りか？

(2) 6冊それぞれを区別するとき、配り方は何通りか？

2. 解き方の手順

**(1) 6冊を区別しない場合**

まず、3人の学生に少なくとも1冊は配られるように配ることを考える。6冊を3人に配る冊数の組み合わせを考える。

* (4, 1, 1): 4冊、1冊、1冊と配る場合。この組み合わせは3通り（誰が4冊もらうか）。

* (3, 2, 1): 3冊、2冊、1冊と配る場合。この組み合わせは3! = 6通り。

* (2, 2, 2): 2冊、2冊、2冊と配る場合。この組み合わせは1通り。

したがって、合計の配り方は3 + 6 + 1 = 10通り。

**(2) 6冊を区別する場合**

まず、3人の学生に少なくとも1冊は配られるように配ることを考える。

(1)で求めた各組み合わせについて、本の区別を考慮する。

* (4, 1, 1)の場合：6冊から4冊を選ぶのは ${}_6 C_4$通り。残りの2冊から1冊を選ぶのは ${}_2 C_1$通り。最後の1冊は自動的に決まる。誰が4冊もらうかの選び方が3通りあるので、${}_6 C_4 \times {}_2 C_1 \times 3 = 15 \times 2 \times 3 = 90$通り。

* (3, 2, 1)の場合：6冊から3冊を選ぶのは ${}_6 C_3$通り。残りの3冊から2冊を選ぶのは ${}_3 C_2$通り。最後の1冊は自動的に決まる。誰が3冊、2冊、1冊もらうかの選び方が3! = 6通りあるので、${}_6 C_3 \times {}_3 C_2 \times 6 = 20 \times 3 \times 6 = 360$通り。

* (2, 2, 2)の場合：6冊から2冊を選ぶのは ${}_6 C_2$通り。残りの4冊から2冊を選ぶのは ${}_4 C_2$通り。最後の2冊は自動的に決まる。しかし、同じ冊数のグループがあるので、順列の重複を避けるために3!で割る必要がある。したがって、${}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 / 3! = 15 \times 6 \times 1/ 6 = 15$通りとなる。しかし、どの学生にどの2冊を配るかの順列を考慮する必要があるので、${}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = 15 \times 6 \times 1 = 90$通り。順列を考慮して割り振ると90通り。

しかし、(2,2,2)の場合は、${}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2$ で組み合わせを選んだ後、それを3人に割り振る順列の自由度はないので、$90$通りを$3!$で割る必要はありません。また、学生の区別を考慮すると、90通りです。

したがって、合計の配り方は90 + 360 + 90 = 540通り。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 540通り