問題57：大小2つのサイコロを同時に投げたときに出た目をそれぞれ$a, b$とする。 (1) $ab$が奇数である確率を求めよ。 (2) $ab$が偶数である確率を求めよ。 (3) $a < b$である確率を求めよ。 問題58：白玉3個、赤玉4個、黒玉5個が入っている袋から同時に3個の玉を取り出す。 (1) 3個とも玉の色が異なる確率を求めよ。 (2) 3個の玉の色がすべて同じである確率を求めよ。 (3) 3個の玉の色が2種類である確率を求めよ。

1. 問題の内容

問題57：大小2つのサイコロを同時に投げたときに出た目をそれぞれ$a, b$とする。

(1) $ab$が奇数である確率を求めよ。

(2) $ab$が偶数である確率を求めよ。

(3) $a < b$である確率を求めよ。

問題58：白玉3個、赤玉4個、黒玉5個が入っている袋から同時に3個の玉を取り出す。

(1) 3個とも玉の色が異なる確率を求めよ。

(2) 3個の玉の色がすべて同じである確率を求めよ。

(3) 3個の玉の色が2種類である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

問題57：

(1) $ab$が奇数となるのは、$a$と$b$がともに奇数であるときのみである。

$a$が奇数となる確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$であり、$b$が奇数となる確率も$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$である。

したがって、$ab$が奇数となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

(2) $ab$が偶数となるのは、$ab$が奇数とならないときである。

したがって、$ab$が偶数となる確率は、

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(3) $a < b$となる確率を求める。

$a$と$b$の組み合わせは全部で$6 \times 6 = 36$通りある。

$a = b$となるのは、$(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$の6通り。

$a > b$となる組み合わせと$a < b$となる組み合わせは同じ数だけ存在する。

したがって、$a < b$となる組み合わせの数は、

$\frac{36 - 6}{2} = 15$通り。

したがって、$a < b$となる確率は、

$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

問題58：

全事象は$_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$通り。

(1) 3個とも玉の色が異なる確率は、

$\frac{3C_1 \times 4C_1 \times 5C_1}{_{12}C_3} = \frac{3 \times 4 \times 5}{220} = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$

(2) 3個の玉の色がすべて同じである確率は、

$\frac{3C_3 + 4C_3 + 5C_3}{_{12}C_3} = \frac{1 + 4 + 10}{220} = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$

(3) 3個の玉の色が2種類である確率は、

まず、3個の玉の色がすべて異なる確率とすべて同じである確率を除いたものを計算する。

$1 - \frac{3}{11} - \frac{3}{44} = \frac{44 - 12 - 3}{44} = \frac{29}{44}$

3. 最終的な答え

問題57：

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{3}{4}$

(3) $\frac{5}{12}$

問題58：

(1) $\frac{3}{11}$

(2) $\frac{3}{44}$

(3) $\frac{29}{44}$