あるクラスで5点満点のテストAとテストBを行った。テストAの得点別の人数が表にまとめられている。テストBの得点別の人数は、テストAの3点と5点の人数が入れ替わったもので、他の得点の人数は同じである。テストBの平均点はテストAの平均点より0.4点高い。このとき、$x$と$y$の値を求める。

1. 問題の内容

あるクラスで5点満点のテストAとテストBを行った。テストAの得点別の人数が表にまとめられている。テストBの得点別の人数は、テストAの3点と5点の人数が入れ替わったもので、他の得点の人数は同じである。テストBの平均点はテストAの平均点より0.4点高い。このとき、$x$と$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、合計の人数が40人であることから、$x$と$y$の関係式を立てる。

$1 + 2 + 7 + x + 12 + y = 40$

$x + y = 18$

次に、テストAの平均点を計算する。

テストAの平均点 $= \frac{0 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 7 + 3 \times x + 4 \times 12 + 5 \times y}{40}$

$= \frac{0 + 2 + 14 + 3x + 48 + 5y}{40}$

$= \frac{3x + 5y + 64}{40}$

テストBの平均点は、テストAの3点と5点の人数が入れ替わっているので、

テストBの平均点 $= \frac{0 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 7 + 3 \times y + 4 \times 12 + 5 \times x}{40}$

$= \frac{0 + 2 + 14 + 3y + 48 + 5x}{40}$

$= \frac{5x + 3y + 64}{40}$

テストBの平均点はテストAの平均点より0.4点高いので、

$\frac{5x + 3y + 64}{40} = \frac{3x + 5y + 64}{40} + 0.4$

両辺に40をかけると、

$5x + 3y + 64 = 3x + 5y + 64 + 16$

$2x - 2y = 16$

$x - y = 8$

$x+y = 18$ と $x-y = 8$ の連立方程式を解く。

$x+y=18$

$x-y=8$

両式を足すと、

$2x = 26$

$x = 13$

$y = 18 - x = 18 - 13 = 5$

3. 最終的な答え

$x = 13$

$y = 5$