区別のつかない5個の玉を、A, B, Cの3つの箱に入れる場合の数を求める問題です。 (1) 玉を1個も入れない箱があっても良い場合 (2) それぞれの箱に少なくとも1個は玉を入れる場合 の2つの場合について考えます。

1. 問題の内容

区別のつかない5個の玉を、A, B, Cの3つの箱に入れる場合の数を求める問題です。

(1) 玉を1個も入れない箱があっても良い場合

(2) それぞれの箱に少なくとも1個は玉を入れる場合

の2つの場合について考えます。

2. 解き方の手順

(1) 玉を1個も入れない箱があっても良い場合

これは、5個の玉を3つの箱に重複を許して入れる場合の数なので、重複組合せの問題として解くことができます。

$n$種類のものを$r$個選ぶ重複組合せの数は $_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$で表されます。

この問題では、$n=3$（箱の種類）で、$r=5$（玉の数）なので、

$_{3}H_{5} = {}_{3+5-1}C_{5} = {}_{7}C_{5} = {}_{7}C_{2}$

${}_{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り

(2) それぞれの箱に少なくとも1個は玉を入れる場合

まず、それぞれの箱に1個ずつ玉を入れます。すると、残りの玉は2個になります。

この残りの2個の玉を、A, B, Cの3つの箱に重複を許して入れる場合の数を考えます。

これは、$n=3$（箱の種類）で、$r=2$（残りの玉の数）の重複組合せの問題なので、

$_{3}H_{2} = {}_{3+2-1}C_{2} = {}_{4}C_{2}$

${}_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 6通り