袋の中に赤球4個、白球3個が入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求め、その期待値が $ \frac{a}{7} $ 個であるときの $ a $ の値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球4個、白球3個が入っている。この袋から同時に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求め、その期待値が $\frac{a}{7}$ 個であるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2個の球を取り出すときのすべての組み合わせの数を計算する。これは、7個の球から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りである。

次に、取り出した球に含まれる赤球の個数ごとに、その確率を計算する。

* 赤球が0個の場合：白球3個から2個を選ぶので、${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。確率は $\frac{3}{21}$。

* 赤球が1個の場合：赤球4個から1個、白球3個から1個を選ぶので、${}_4 C_1 \times {}_3 C_1 = 4 \times 3 = 12$ 通り。確率は $\frac{12}{21}$。

* 赤球が2個の場合：赤球4個から2個を選ぶので、${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。確率は $\frac{6}{21}$。

期待値は、それぞれの赤球の個数にその確率を掛け合わせたものの合計である。

期待値 = $0 \times \frac{3}{21} + 1 \times \frac{12}{21} + 2 \times \frac{6}{21}$

= $0 + \frac{12}{21} + \frac{12}{21}$

= $\frac{24}{21}$

= $\frac{8}{7}$

問題文より、期待値は $\frac{a}{7}$ なので、$\frac{a}{7} = \frac{8}{7}$。

したがって、$a = 8$。

3. 最終的な答え

a = 8