3つの確率の問題が出されています。 Q1: 独立な事象 A と B がそれぞれ起こる確率を求めます。 Q2: ある事象 A が起こる確率 $p$ が与えられたとき、10 回の試行でちょうど 4 回 A が起こる確率を求めます。 Q3: 条件付き確率 $P_A(B)$ が与えられたとき、$P(A \cap B)$ を求めます。

1. 問題の内容

3つの確率の問題が出されています。

Q1: 独立な事象 A と B がそれぞれ起こる確率を求めます。

Q2: ある事象 A が起こる確率 $p$ が与えられたとき、10 回の試行でちょうど 4 回 A が起こる確率を求めます。

Q3: 条件付き確率 $P_A(B)$ が与えられたとき、$P(A \cap B)$ を求めます。

2. 解き方の手順

Q1:

事象 A と B が独立であるとき、A と B が同時に起こる確率は、それぞれの確率の積で与えられます。

したがって、$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Q2:

これは二項分布の問題です。10 回の試行で 4 回だけ事象 A が起こる確率は、二項分布の公式を使って計算できます。

$P(X=4) = {}_{10}C_4 \times p^4 \times (1-p)^{10-4} = {}_{10}C_4 \times p^4 \times (1-p)^6$

Q3:

条件付き確率の定義より、$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ が成り立ちます。

したがって、$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

3. 最終的な答え

Q1: エ. $P(A) \times P(B)$

Q2: イ. ${}_{10}C_4 \times p^4 \times (1-p)^6$

Q3: ア. $P(A) \times P_A(B)$