$x+y = p$, $xy = q$とし、$S_n = x^n + y^n$ $(n = 1, 2, \dots)$と定義する。 (1) $S_1$, $S_2$を$p, q$で表せ。 (2) $S_n$が漸化式$S_{n+2} - pS_{n+1} + qS_n = 0$ $(n = 1, 2, \dots)$を満たすことを示し、$S_3$, $S_4$, $S_5$を求めよ。

1. 問題の内容

$x+y = p$, $xy = q$とし、$S_n = x^n + y^n$ $(n = 1, 2, \dots)$と定義する。

(1) $S_1$, $S_2$を$p, q$で表せ。

(2) $S_n$が漸化式$S_{n+2} - pS_{n+1} + qS_n = 0$ $(n = 1, 2, \dots)$を満たすことを示し、$S_3$, $S_4$, $S_5$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_1 = x + y$なので、$S_1 = p$

$S_2 = x^2 + y^2$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$S_2 = p^2 - 2q$

(2)

$S_{n+2} = x^{n+2} + y^{n+2}$

$S_{n+1} = x^{n+1} + y^{n+1}$

$S_n = x^n + y^n$

$pS_{n+1} = (x+y)(x^{n+1} + y^{n+1}) = x^{n+2} + xy^{n+1} + yx^{n+1} + y^{n+2} = x^{n+2} + y^{n+2} + xy(x^n + y^n) = S_{n+2} + qS_n$

したがって、$S_{n+2} - pS_{n+1} + qS_n = S_{n+2} - (S_{n+2} + qS_n) + qS_n = 0$

よって、$S_{n+2} = pS_{n+1} - qS_n$

$S_1 = p$

$S_2 = p^2 - 2q$

$S_3 = pS_2 - qS_1 = p(p^2 - 2q) - qp = p^3 - 2pq - pq = p^3 - 3pq$

$S_4 = pS_3 - qS_2 = p(p^3 - 3pq) - q(p^2 - 2q) = p^4 - 3p^2q - p^2q + 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$

$S_5 = pS_4 - qS_3 = p(p^4 - 4p^2q + 2q^2) - q(p^3 - 3pq) = p^5 - 4p^3q + 2pq^2 - p^3q + 3pq^2 = p^5 - 5p^3q + 5pq^2$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = p$, $S_2 = p^2 - 2q$

(2) $S_3 = p^3 - 3pq$, $S_4 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$, $S_5 = p^5 - 5p^3q + 5pq^2$