直角を挟む2辺の長さが4cmの合同な直角二等辺三角形$\triangle ABC$と$\triangle PQR$がある。$\triangle PQR$が直線に沿って毎秒1cmの速さで動き、点Rが点Bの位置に来たときから$x$秒後の$\triangle PQR$と$\triangle ABC$の重なった部分である$\triangle SBR$の面積を$y$ cm$^2$とするとき、以下の問いに答える。 (1) 点Rが点Bから点Cまで動くとき、$y$を$x$の式で表しなさい。また、$x$の変域を求めなさい。 (2) (1)の関数のグラフをかきなさい。 (3) (1)の関数について、$y$の変域を求めなさい。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さが4cmの合同な直角二等辺三角形$\triangle ABC$と$\triangle PQR$がある。$\triangle PQR$が直線に沿って毎秒1cmの速さで動き、点Rが点Bの位置に来たときから$x$秒後の$\triangle PQR$と$\triangle ABC$の重なった部分である$\triangle SBR$の面積を$y$ cm$^2$とするとき、以下の問いに答える。

(1) 点Rが点Bから点Cまで動くとき、$y$を$x$の式で表しなさい。また、$x$の変域を求めなさい。

(2) (1)の関数のグラフをかきなさい。

(3) (1)の関数について、$y$の変域を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

点Rが点Bから点Cまで動くとき、$x$の変域を考える。点Rが点Bの位置に来たときからスタートするので、$x$は0以上である。点Rが点Bから点Cまで移動する距離は4cmであり、移動速度は毎秒1cmなので、4秒後に点Cに到達する。したがって、$x$の変域は$0 \le x \le 4$である。

$\triangle SBR$は直角二等辺三角形であり、$BR = x$である。したがって、$BS = BR = x$となる。

$\triangle SBR$の面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times BS \times BR = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$

したがって、$y = \frac{1}{2}x^2$

(2)

(1)で求めた関数$y=\frac{1}{2}x^2$のグラフを、$0 \le x \le 4$の範囲で描く。

$x=0$のとき、$y=0$

$x=1$のとき、$y=\frac{1}{2}=0.5$

$x=2$のとき、$y=\frac{1}{2}(2)^2=2$

$x=3$のとき、$y=\frac{1}{2}(3)^2=4.5$

$x=4$のとき、$y=\frac{1}{2}(4)^2=8$

これらの点を結ぶことでグラフを描画する。

(3)

(1)で求めた関数$y=\frac{1}{2}x^2$について、$0 \le x \le 4$のとき、$y$の最小値は$x=0$のとき$y=0$であり、$y$の最大値は$x=4$のとき$y=8$である。したがって、$y$の変域は、$0 \le y \le 8$である。

3. 最終的な答え

(1)

式：$y = \frac{1}{2}x^2$

変域：$0 \le x \le 4$

(2)

グラフは上記の通り。（グラフの描画は省略）

(3)

$0 \le y \le 8$