$x$ についての不等式 $x^2 - (a+1)x + a > 0$ を解け。ただし、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $x^2 - (a+1)x + a > 0$ を解け。ただし、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左辺を因数分解する。

$$x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a)$$

したがって、不等式は

$$(x-1)(x-a) > 0$$

となる。

次に、$a$ と $1$ の大小関係によって場合分けをする。

(1) $a < 1$ のとき

$(x-1)(x-a) > 0$ より、$x < a$ または $x > 1$

(2) $a = 1$ のとき

$(x-1)(x-1) > 0$ より、$(x-1)^2 > 0$ 。

これは $x \neq 1$ のとき成り立つ。

(3) $a > 1$ のとき

$(x-1)(x-a) > 0$ より、$x < 1$ または $x > a$

3. 最終的な答え

(1) $a < 1$ のとき、$x < a$ または $x > 1$

(2) $a = 1$ のとき、$x < 1$ または $x > 1$ （$x \neq 1$）

(3) $a > 1$ のとき、$x < 1$ または $x > a$