問題は2つあります。 (1) 方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類すること。 (2) 方程式 $ax = 1$ を解くこと (ただし、$a$ は定数)。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類すること。

(2) 方程式 $ax = 1$ を解くこと (ただし、$a$ は定数)。

2. 解き方の手順

(1) $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を $k$ の値によって分類する。

まず、$y = |x^2 - 1|$ のグラフを考える。$x^2 - 1 = 0$ となるのは $x = \pm 1$ のときである。$x^2 - 1$ は $x=0$のとき $-1$ の値を取る。

$y = x^2 - 1$ のグラフは下に凸の放物線で、頂点は $(0, -1)$ である。

$y = |x^2 - 1|$ のグラフは、$y = x^2 - 1$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返したものである。

したがって、$y = |x^2 - 1|$ のグラフは、$x = \pm 1$ で $x$ 軸と交わり、$y = 1$ で極大値をとる。

方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数は、$y = |x^2 - 1|$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数に等しい。

- $k < 0$ のとき、交点は存在しないので、実数解の個数は0個である。

- $k = 0$ のとき、交点は2個 ($x = \pm 1$) なので、実数解の個数は2個である。

- $0 < k < 1$ のとき、交点は4個なので、実数解の個数は4個である。

- $k = 1$ のとき、交点は3個 ($x = 0, \pm \sqrt{2}$)なので、実数解の個数は3個である。

- $k > 1$ のとき、交点は2個なので、実数解の個数は2個である。

(2) $ax = 1$ を解く。

- $a = 0$ のとき、$0x = 1$ となり、これを満たす $x$ は存在しないので、解なし。

- $a \ne 0$ のとき、$x = \frac{1}{a}$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

- $k < 0$ のとき、実数解は0個

- $k = 0$ のとき、実数解は2個

- $0 < k < 1$ のとき、実数解は4個

- $k = 1$ のとき、実数解は3個

- $k > 1$ のとき、実数解は2個

(2)

- $a = 0$ のとき、解なし

- $a \ne 0$ のとき、$x = \frac{1}{a}$